Ejemplos históricos de las Matemáticas en la Música

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Es prácticamente desconocida la aplicación de algunos conceptos matemáticos a otros aspectos de la Música como son el análisis, los aspectos estéticos, la composición y la Teoría Matemática de la Música. A continuación veamos cómo algunos matemáticos y músicos han aplicado conceptos matemáticos en la Música a lo largo de la historia.

Mozart

Wolfgang Amadeus Mozart nació en (Salzburgo, actual Austria; 27 de enero de 1756 – Viena; 5 de diciembre de 1791), es considerado como uno de los más grandes compositores de música clásica del mundo occidental. A pesar de que murió muy joven (apenas a los 35 años), nos ha legado una obra tan importante que abarca todos los géneros musicales de su época. Según el testimonio de sus contemporáneos era, tanto al piano como al violín y la viola, un virtuoso.

fig 7.1

Mozart, en 1777, a los escasos 21 años de edad, escribió un “Juego de Dados Musical para escribir valses con la ayuda de dos dados sin ser músico ni saber nada de composición”. Escribió 176 compases adecuadamente y los puso en dos tablas de 88 elementos cada una:

fig 7.2

El juego comienza lanzando los dos dados, de tal manera que tenemos 11 números posibles (del 2 al 12) y hacemos 8 tiradas obteniendo distintos compases excepto los de la última columna que son iguales (éstos últimos con dos posibilidades: una para la repetición y otra para continuar con la segunda tabla. La segunda tabla es igual a la primera excepto que tiene otros 88 compases con los de la última columna idénticos.

Así, mediante un simple cálculo, utilizando conceptos del Álgebra Superior, se tienen 1114 valses diferentes, es decir, aproximadamente 3.797498335832 (10e14) valses diferentes. Si se toca cada vals, con repetición de la primera parte, en 30 segundos, se requerirían de 30(11e14) segundos, es decir, 131,857,581,105 días aproximadamente, o bien, 361,253,646 años aproximadamente en tocarlos todos uno tras de otro ininterrumpidamente. Es decir, un estreno mundial de una obra de Mozart cada 30 segundos a lo largo de ¡361 millones de años! (Recuérdese que la antigua edad de piedra comenzó hace unos 35,000 años).

Juego de los dados

Mozart era un aficionado a la matemática y su enorme talento se mostró una vez más. Con este juego tan sencillo ¡dejó la imposibilidad de que intérprete alguno pudiera tocar su obra completa o de que alguna compañía de discos la grabara!

Aún más, nos muestra qué poca idea tenemos de los números grandes como 30(11e14). Existieron y existen compositores que creen que ya todo está agotado con la armonía tradicional, y que por lo tanto hay que buscar un nuevo estilo de música. (Mozart, para este juego, solamente utilizó 176 compases). Aún en estos días, con computadoras y Combinatoria no se podría manejar una pequeña porción de motives musicales puesto que la cantidad de clases de isomorfismo es exorbitante. Por ejemplo, la formula de Fripertinger da un número de órbitas afines de 72 elementos motívicos, que es del orden de 10e36. El número de estrellas en una galaxia está estimado en 10e11. Así, el universo musical es un serio competidor contra el universo físico. También, el uso de métodos estadísticos es requerido para atender la enorme variedad de casos. Ni siquiera las computadoras de la próxima generación podrían manejar todos los casos.

Yáechik había dicho una vez que llegaría un día, dentro de tal vez miles de años, en el que los seres humanos hablarán con música, y Yárchik lo repite siempre con la misma seguridad. Dice que la música contiene mucha más información que las simples notas. Y que no es una cuestión de simples sentimientos, sino de matemáticas. Que sólo hace falta que el cerebro desarrolle la capacidad de producir y leer esa información. Que algunos, como Mozart, podían hacerlo, y que en su música siguen vivos los mensajes, esperando las mentes que lleguen a ser capaces de leerlos” (Gonzalo Moure, “El síndrome de Mozart”, Edciones SM, 2003,pág.57).

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George Birkhoff

George David Birkhoff (1884-1944) fue el más importante matemático estadounidense del siglo XX.

fig 7.3

En 1924 George David Birkhoff (quien trabajó brillantemente en el Problema de los tres cuerpos, Ecuaciones Diferenciales, Teoría General de Relatividad entre otras áreas, miembro honorario de la Sociedad Matemática Mexicana y contribuyente al desarrollo cultural de México) retoma unas ideas que había tenido años atrás pero que no desarrolló por dedicarse exclusivamente a estudios puramente matemáticos.

Pensó que la melodía dependía del orden de las notas escuchadas por el oído. Le pareció que podrían establecerse unas relaciones de orden, guardadas por las notas, y así poder escoger las mejores melodías.

Para él, el problema fundamental de la Estética era el de determinar, para una clase de objetos, las características específicas de las cuales depende el valor estético. Birkhoff considera que hay tres fases consecutivas para la experiencia estética: primero, un esfuerzo preliminar de atención, el cual es necesario para percibir el objeto y que es proporcional a la complejidad C del objeto; segundo, una sensación placentera o medida estética M la cual recompensa este esfuerzo preliminar; y tercero, una certificación de que el objeto posee una armonía, simetría u orden O el cual parece una condición necesaria, si no es que suficiente, para la experiencia estética.

Así, Birkhoff propone la fórmula M=O/C mediante la cual expresa la medida estética como el efecto de la densidad de las relaciones de orden comparadas con la complejidad.
El mismo inquiere lo atrevido de esta fórmula y proporciona algunas justificaciones históricas.

La Estética trata del placer estético y con los objetos que lo producen. Así es que tenemos clases de objetos los cuales pueden ser comparados con respecto a su valor estético (los de clases diferentes no pueden ser comparados). Luego, el problema fundamental de la Estética Analítica es el de determinar los factores estéticos y su importancia relativa.

Percibir un objeto estético requiere de ciertos ajustes y la sensación de esfuerzo o tensión que acompaña siempre a la percepción aparece como la suma de las tensiones a los diversos ajustes automáticos. Así, si A, B, C,… representan estos ajustes, cada uno con tensiones a,b,c,… y si éstas se realizan r,s,t,… veces podemos considerar la suma C=ra+sb+tc+… como la complejidad.

Por otro lado, el orden O corresponde a ciertas asociaciones que intervienen en el acto de percepción. Por ejemplo, la simetría sería una asociación. Si L,M,N,… son asociaciones de varios tipos, cada una con índices de sensación l,m,n,… las cuales ocurren u,v,w,… veces, entonces podemos considerar el total de sensaciones (positivo o negativo O=ul+vm+wn+… como el orden del objeto. Así, la estimación intuitiva de la cantidad de orden O inherente al objeto estético, comparado con su complejidad C, nos proporciona su medida estética.

Obviamente esta teoría matemática solo puede aplicarse a objetos cuyos factores estéticos sean esencialmente matemáticos o formales. Hay otros factores que están más allá de esta teoría, como por ejemplo, las asociaciones acerca del significado de un poema hermoso.

También aplica su fórmula a los acordes diatónicos, armonía y melodía así como a la calidad musical en la poesía. En el caso musical, su teoría está basada en las relaciones de orden entre las notas y puesto que la apreciación de tales relaciones continuamente cambia y se desarrolla, no trata de formar una teoría definitiva de la medida estética que sea válida para el futuro o el pasado. Más bien, considera que el problema principal de la forma musical es el de que dado un conjunto de recursos musicales debemos determinar hasta qué grado las relaciones de orden entre las notas de una composición constituyen una base eficiente de
disfrute musical.

Leibniz

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1 de julio, 1646 – 14 de noviembre, 1716) fue un filósofo, matemático, jurista y político alemán, de origen sorbio, nacido en Leipzig en julio de 1646.

Educado en leyes y filosofía, Leibniz jugó un importante papel en la política y diplomacia europea de su época. Ocupa un lugar igualmente grande en la historia de la Filosofía y en la de las Matemáticas. Descubrió el cálculo infinitesimal, independientemente de Newton, y su notación es la que se halla desde entonces en uso general. También inventó el sistema binario, en que se basan casi todas las arquitecturas de computación actuales.

fig 7.4

Durante el siglo XVII y principios del XVIII prevalecieron los conceptos de “ingenio” y “buen gusto”. En éste último está implícito un esfuerzo de atención, luego un juicio estético intuitivo dependiendo del buen gusto y finalmente el análisis.

Leibniz pudo admitir las percepciones y juicios estéticos como parte del saber y definió la Música como el contar sin saber que se está contando. Esto último concuerda con el concepto de Birkhoff en el sentido de que la densidad de ciertas relaciones ordenadas entre las notas consideradas intuitivamente, miden el efecto estético.

De Crousaz, Rameau y D’Alembert

De Crousaz escribe, que el buen gusto nos hace apreciar, al principio, por sensaciones, aquello que la razón hubiera aprobado.
Rameau observó que una nota musical está compuesta por un sonido fundamental y varias parciales, y que las notas que difieren por una octava son similares en cuanto a su efecto estético y pueden considerarse casi idénticas. Estos hechos conducen al entendimiento de la música occidental.

Fue d’Alembert quien dio una clara presentación del trabajo de Rameau (el cual es cualitativo, a diferencia del tratamiento cuantitativo de Birkhoff). Así, el grado de armonicidad es distinto del agrado o medida estética. Por ejemplo, el unísono y la octava son los más armoniosos de los intervalos pero no los más agradables

Euler

Leonhard Euler nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza. Murió el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo, Rusia. Vivió en Rusia la mayor parte de su vida. Probablemente fue uno de los más grandes matemáticos de la historia, comparable a Gauss, Newton o Arquímedes.

Perdió la vista de un ojo durante un experimento en óptica, y en 1766 la vista del otro, ya de mayor. Pasó los últimos años de su vida ciego, pero siguió trabajando. Se le considera el ser humano con mayor número de trabajos y artículos en cualquier campo del saber, solo equiparable a Gauss.

Posiblemente es el matemático más prolífico de la historia. Muchos trabajos se los dictó a su hijo mayor cuando ya estaba ciego. A pesar de que su actividad de publicación era incesante (un promedio de 800 páginas de artículos al año en su época de mayor producción, entre 1727 y 1783), la mayor parte de su obra completa está sin publicar.

fig 7.5

Euler, en 1739, desarrolló una teoría de consonancia basada en la ley pitagórica. Entre más pequeños sean los números que expresan la relación de vibración de dos notas, éstas serán más consonantes.

De ésta forma, Euler estableció un criterio de armonicidad de cualquier intervalo o acorde que concuerda con los hechos observados. Es interesante que Euler formulara una ley cuantitativa para la medida de la armonicidad.

Así, el concepto general de Euler acerca de la naturaleza del goce estético concuerda completamente con el de Birkhoff, que en palabras de Helmholtz años después, establecían que entre más fácilmente percibamos el orden que caracteriza a los objetos contemplados, estos parecerán más simples y perfectos, y más fácil y gozosamente los reconoceremos. Un orden que cuesta trabajo descubrir, aunque ciertamente nos halague, asociará cierto grado de desgaste y tristeza.

Fibonacci

Leonardo de Pisa o Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo (c. 1170 – 1250), también llamado Fibonacci, fue un matemático italiano, famoso por la invención de la sucesión de Fibonacci, surgida como consecuencia del estudio del crecimiento de las poblaciones de conejos, y por su papel en la popularización del sistema de numeración posicional en base 10 (o decimal) en Europa.

Consciente de la superioridad de los numerales árabes, Fibonacci viajó a través de los países del Mediterráneo para estudiar con los matemáticos árabes más destacados de ese tiempo, regresando cerca de 1200.

fig 7.6

En 1202, a los 32 años de edad, publicó lo que había aprendido en el Liber Abaci (libro del ábaco o libro de los cálculos). Sobrevive la segunda edición del año 1228. Contenía casi todo el conocimiento aritmético y algebraico de esa época y jugó un papel fundamental en el desarrollo de la matemática occidental, pues a través de él, los europeos se familiarizaron con el sistema numérico indo arábigo.
Contenía muchísimos ejemplos. Veamos uno de ellos, reformulado de la siguiente manera: suponga que los conejos no se reproducen durante su primer mes de vida, pero que a partir del segundo mes cada pareja de conejos produce un nuevo par. Suponga que ningún conejo muere. Si comenzamos con un par de conejos, ¿cuántas parejas de conejos hay a los doce meses y en general a los n meses? La sucesión de las parejas adultas es de la forma:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,…

es decir, la sucesión dada por la fórmula u1=u2=1 y un=un-1+un-2 para n mayor o igual que 2. Esta sucesión se llama sucesión de Fibonacci y sus términos números de Fibonacci. Si consideramos bn=un+1/un como el cociente de crecimiento, obtendremos una
sucesión, cuyo límite cuando n tiende a infinito es 1.618034…

Este número, juega un papel muy importante en la Geometría y en la Estética. Si dividimos un segmento de recta AB en un punto C tal que AB:AC=AC:CB tal división se llama sección o razón áurea (Kepler la llamó proporción divina). Si AB=1 y AC=x entonces x2+x-1=0. Luego x=.618034…. Así, la parte mayor de cualquier longitud, dividida en razón áurea, es igual a la longitud total multiplicada por .618034….

fig 7.7

El número áureo, también denominado “número de oro”, “número dorado”, “sección áurea”, “razón áurea”, “razón dorada”, “media áurea”, “proporción áurea”, “divina proporción”, representado por la letra griega Φ (fi) (en honor al escultor griego Fidias), es el número irracional:

\Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,618033988\,749\,894\,848\,204\, 586\,834\,365\,638\,117\,720\,309\,179\,805\, ...

El número áureo en la Música

Autores como Bártok, Messiaen y Stockhausen, entre otros, compusieron obras cuyas unidades formales se relacionan (a propósito) con la sección áurea. También aparece en las estructuras formales de las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfonía de Beethoven, en obras de Schubert y Debussý (estos compositores probablemente compusieron estas relaciones de manera inconsciente, basándose en equilibrios de masas sonoras).

Estudios realizados acerca de la Quinta sinfonía de Beethoven (1770-1827) muestran como el tema principal incluido a lo largo de la obra, está separado por un número de compases que pertenece a la sucesión. También en varias sonatas para piano de Mozart (1756-1791) la proporción entre el desarrollo del tema y su introducción es la más cercana posible a la razón áurea.

Relaciones matemáticas de este estilo se han encontrado también en la coral situada al final de Kunst der Fuge de Johann Sebastian Bach (1685-1750). En ella determinados motivos se repiten, por disminución a escalas menores, una y otra vez con distintas variaciones dentro de una región mayor de la pieza. Así, por ejemplo, varias voces repiten al doble de velocidad la melodía de la voz principal.

El compositor mexicano Silvestre Revueltas (1899-1945) utilizó también el número áureo en su obra Alcancías, para organizar las partes (unidades formales).

El grupo de rock progresivo norteamericano Tool, en su disco Lateralus (2001) hacen múltiples referencias al número áureo y a la secuencia Fibonacci, sobre todo en la canción que da nombre al disco, pues los versos de la misma están cantados de forma que el número de sílabas pronunciadas en cada uno van componiendo dicha secuencia. Además la voz entra en el minuto 1:37, que pasado al sistema decimal coincide muy aproximadamente con el número áureo.

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Lateralus

Bartok

Béla Bartók (Nagyszentmiklós, Hungría -actualmente Sânnicolau Mare, Rumanía-, 25 de marzo de 1881- Nueva York, 26 de septiembre de 1945) fue un compositor, pianista e investigador de música folclórica de Europa del Este. Bartók fue uno de los fundadores del campo de la etnomusicología, el estudio de la música folclórica y la música de culturas no occidentales.

fig 7.8

Bela Bartok, alrededor de 1915 desarrolló un método para integrar todos los elementos de la música (escalas, estructuras de acordes con los motivos melódicos apropiados, proporciones de longitud, tanto de la obra en general como los de la exposición, desarrollo, reexposición, frases de conexión entre movimientos etc.) basado en la razón áurea.

Bartok escribió que seguía a la naturaleza en la composición y que fue guiado indirectamente por fenómenos naturales para descubrir estas regularidades. Constantemente aumentaba su colección de plantas, insectos y especimenes minerales. El girasol era su planta favorita y se ponía muy feliz cuando encontraba piñas de abeto en su escritorio.

Consideraba que la música folclórica también era un fenómeno de la naturaleza y que sus formaciones se desarrollaban tan espontáneamente como otros organismos vivientes: las flores, los animales, etc. Por esto su música le recuerda al oyente de escenas naturales. Por ejemplo, el girasol tiene 34 pétalos y sus espirales tienen los valores 21, 34, 55, 89,144.

Su uso de los acordes también está basado en los números de Fibonacci. Por ejemplo, en semitonos, 2 es una segunda mayor, 3 es una tercera menor, 5 es una cuarta, 8 es una sexta menor y 13 es una octava aumentada, etc. Cuando Bartok utiliza acordes en un movimiento cromático, coloca la tercera menor sobre la cuarta justa de tal forma que el acorde adquiere la forma 8:5:3 y considerando una tercera menor, superponiéndole una cuarta seguida de otra tercera menor se obtiene su acorde característico mayor-menor.

El Allegro Bárbaro es otra composición para piano solo en la cual Bartok utiliza los números de Fibonacci 2, 3, 5, 8, y 13 en diversas ocasiones, a diferencia de la música tradicional la cual utiliza 8 compases en casi todos los temas y múltiplos de 2 en los motivos y frases. También utiliza su círculo de tonalidades y la duración de la pieza es de 3 minutos.

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Allegro bárbaro 

Fuente:  Universidad de Valladolid

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